Versicherungsmathematik by Dr. Walter Saxer (auth.)

By Dr. Walter Saxer (auth.)

(Zu Versicherungsmathematik eleven. ) In diesem "höheren" Band der Versicherungsmathematik haben wir uns durch geeignete Stoffauswahl vor allem das Ziel gesteckt, die Ver­ sicherungsmathematiker davon zu überzeugen, daß wichtige technische Probleme der Versicherungspraxis nur durch Verwendung der \Vahr­ scheinlichkeitstheorie und Resultate aus der mathematischen Statistik gelöst werden können. Daneben wollten wir die mathematischen Eigen­ schaften derjenigen Funktionen beschreiben, die im wesentlichen in der Versicherungsmathematik benutzt werden und mit Hilfe eines geeigneten Integralbegriffes eine einheitliche Darstellung der kontinuierlichen und diskontinuierlichen Methode geben. Das Kapitel über die Risiko­ versicherungen gibt zum erstenmal in einem Lehrbuch eine mathema­ tische Theorie der Unfall- und Sachversicherung. Die Kapitel über die Ausgleichung von Sterbetafeln und der von Herrn JECKLIN verfaßte Anhang über die Versicherung erhöhter Risiken dürften vor allem auch den Praktiker interessieren. Die einzelnen Kapitel sind weitgehend unabhängig voneinander und können einzeln verstanden werden. Lediglich der im ersten Kapitel definierte Begriff der Versicherungsfunktion wird durchgehend benutzt. Zwecks Unabhängigkeit der einzelnen Kapitel wurden mit Absicht gelegentlich gewisse Aussagen wiederholt. Es magazine auffallen, daß wir im Kapitel über die Mathematik all­ gemeiner Risikoversicherungen nur bestimmte Teile der Risikotheorie zur Darstellung brachten. Angesichts der Tatsache, daß ausgezeichnete moderne Darstellungen der Risikotheorie 1 vorliegen, haben wir auf ihre vollständige Aufnahme in dieses Kapitel verzichtet. Ferner werden in dieser Theorie maßtheoretische Begriffe und Sätze vorausgesetzt, deren Kenntnis für das Verständnis dieses Buches nicht unerläßlich ist.

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Versicherungsmathematik

(Zu Versicherungsmathematik eleven. ) In diesem "höheren" Band der Versicherungsmathematik haben wir uns durch geeignete Stoffauswahl vor allem das Ziel gesteckt, die Ver­ sicherungsmathematiker davon zu überzeugen, daß wichtige technische Probleme der Versicherungspraxis nur durch Verwendung der \Vahr­ scheinlichkeitstheorie und Resultate aus der mathematischen Statistik gelöst werden können.

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Ldg. 7) a Beweis: Gemäß den vorangegangenen Ausführungen haben sämtliche obigen Integrale einen Sinn. Im übrigen erhält man GI. 6) aus der GI. 1), wenn man in der letzteren an Stelle von b die Größe t substituiert und für die Funktionen 11 (t) und/ 2(t) die Funktionen 1/I(t) und I (t) setzt. In ganz analoger Weise erhält man den Beweis für die GI. 7) aus der GI. 3). 5. 1) bzw. 9) 11. Mathematik der Lebensversicherung. In diesem Kapitel möchten wir einen möglichst allgemeinen systematischen Aufbau der Lebensversicherungsmathematik geben, bei dem die Formeln der Lebensversicherungstechnik, wie sie im ersten Bande dargestellt wurde, als Spezialfälle erscheinen.

2. Solche Risikoversicherungen sind in der Regel kurzfristiger Natur. 3. Die Schäden, die bei solchen Risikoversicherungen entstehen können, sind, gemessen an den vorhandenen Reserven und Prämien, wesentlich größer als in der Lebensversicherung. Besondere Maßnahmen zur Verhütung solcher Schäden sind dringend angezeigt, wenn die Versicherungs-Institution die nötigen Garantien bieten will. 4. Die Größe des Schadens ist im Gegensatz zur Lebensversicherung häufig zufälliger Natur. Man denke beispielsweise an Unfallversicherungen, Feuerversicherungen usw.

Die GI. 2) erhält dann bei k = 0 die folgende Form (-)1 E'(t) Wenn t = CJ V(t) = + F) JE' d(CJ P o (-)1 (-)1 = CJn J E' d C + J E' d r o 0 n gesetzt wird, erhalten wir demnach . 1 ) -;,-(07 : ) , , - - JE' dC o In analoger Weise ergibt sich aus GI. 2) CJn=-f~· JE dC o Saxer, Versicherungsmathematik II 4 50 1I. Mathematik der Lebensversicherung. Der Wert V (0) kann als Einmaleinlage zur Finanzierung einer Versicherung betrachtet werden. P(t) ist in diesem Falle"" 0, da überhaupt keine Prämie mehr bezahlt wird.

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