Lesebuch Mathematik für das erste Studienjahr by Joachim Hilgert

By Joachim Hilgert

Dieses Buch ist eine Begleitlektüre zum ersten Jahr des Mathematikstudiums und darüber hinaus. Im Mittelpunkt stehen Motivation und Erläuterung der zentralen Begriffsbildungen anhand von Beispielen und exemplarischen Resultaten.

Ausgehend von den elementarsten und historisch frühesten mathematischen Konzepten des Messens und Zählens werden Sie zu modernen Begriffen wie Metriken, Maßen und Vektorräumen geführt, die dann zur Lösung konkreter Probleme einsetzt werden. Die Stoffauswahl ist so angelegt, dass die Querverbindungen zwischen den unterschiedlichen Anfängervorlesungen, die im regulären Studienbetrieb oft eher ausgeblendet werden, deutlich hervortreten.

Das Buch richtet sich an Leser, die mit der elementaren Mengenlehre als Sprache zur Beschreibung von mathematischen Inhalten sowie mit den reellen Zahlen als mathematischem Konzept vertraut sind.

Das entspricht etwa dem Kenntnisstand, der von Studierenden der Mathematik nach etwa einen Monat Studium erwartet wird.

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Wenn x0 ∈ M kein Häufungspunkt von M ist, dann ist f in x0 automatisch stetig. Beweis. 13). 13) so klein, dass dM (x, x0 ) > δ für alle x0 = x ∈ M gilt. 13) die Voraussetzung der Implikation nur für x = x0 erfüllt. Für x = x0 ist aber auch die Schlussfolgerung der Implikation richtig. Also ist die Implikation auf jeden Fall richtig, das heißt, f ist stetig in x0 . 15 bedeutet nicht, dass der Grenzwert von f (x) für x → x0 immer gleich f (x) sein muss. Die Funktion f : R → R, die durch f (x) := 1 für x = 0 und f (0) := 0 definiert ist, erfüllt zum Beispiel limx→0 f (x) = 1 = f (0).

48 (Grenzwert in topologischen Räumen) Sei (M, U) ein topologischer Raum 44 1 Vom Abstand zur Topologie (i) Sei (yn )n∈N eine Folge in M . Dann heißt y ∈ M der Grenzwert von (yn )n∈N , falls ∀ U ∈ U(y) ∃ n0 ∈ N : n ≥ n0 ⇒ yn ∈ U. (ii) Sei (N, V) ein weiterer topologischer Raum und x0 ∈ N ein Häufungspunkt von N . Weiter sei f : N \ {x0 } → M eine Abbildung. Ein Punkt y ∈ M heißt Grenzwert von f (x) für x −→ x0 , falls ∀ U ∈ U(y) ∃ V ∈ V(x0 ) : x ∈ V ⇒ f (x) ∈ U. Wenn (M, U) hausdorffsch ist, dann sind die Grenzwerte eindeutig bestimmt, denn man kann um zwei verschiedene Punkte y und y in M disjunkte Umgebungen U und U legen, die dann keine gemeinsamen Punkte der Form yn bzw.

Die eben gegebene grobe Schilderung der Konstruktion der reellen Zahlen enthält einen Schwachpunkt: Es wurde nicht gesagt, was der Grenzwert einer rationalen Folge überhaupt sein soll, wenn er nicht in der Menge der rationalen Zahlen liegt. 16 beheben. Die neue Idee, die hier zum Ziel führt, ist das Konzept der Cauchy-Folge. Eine Cauchy-Folge zeichnet sich dadurch aus, dass die Abstände |xm − xn | von Folgengliedern für große m und n sehr klein werden. Diese Idee lässt sich sofort für metrische Räume formulieren.

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