Lehrbuch der Algebra: Mit lebendigen Beispielen, by Gerd Fischer

By Gerd Fischer

Dieses ausführlich geschriebene Lehrbuch eignet sich als Begleittext zu einer einführenden Vorlesung über Algebra. Die Themenkreise sind Gruppen als Methode zum Studium von Symmetrien verschiedener paintings, Ringe mit besonderem Gewicht auf Fragen der Teilbarkeit und schließlich als Schwerpunkt Körpererweiterungen und Galois-Theorie als Grundlage für die Lösung klassischer Probleme zur Berechnung der Nullstellen von Polynomen und zur Möglichkeit geometrischer Konstruktionen. Für die 2. Auflage wurde der textual content an vielen Stellen verbessert. Darüber hinaus wurden einige Ergänzungen aufgenommen, etwa die Beschreibung des RSA-Kryptosystems.

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"Presenting the complaints of a convention held lately at Northwestern college, Evanston, Illinois, at the social gathering of the retirement of famous mathematician Daniel Zelinsky, this novel reference offers updated insurance of subject matters in commutative and noncommutative ring extensions, specially these regarding problems with separability, Galois idea, and cohomology.

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On the middle of this brief creation to classification idea is the assumption of a common estate, vital all through arithmetic. After an introductory bankruptcy giving the elemental definitions, separate chapters clarify 3 ways of expressing common houses: through adjoint functors, representable functors, and bounds.

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Example text

Aus diesen {Jberlegungen tblg~, dass OL(r~; K) SL(r~;K) >~ H inneres semidirektes Produkt ist,und dass es einen Isomorphismus SL(r~; K) x~ K • --+ GL(r~; K) ~ b t , mit ~ a ( A ) : B a A B ~ 1 fiir A E SL(r~; K). Bei dieser Konjugation wird in A die erste Zeile mit >, und die erste Spalte mit >, 1 multipliziert. Beispiel 5 Wir konstruieren aus einer abelschen Gruppe G und der Gruppe Z2 Z/2Z als semidirektes Produkt eine ,~iedergruppe". Wir schreiben Z2 { + 1 , - 1 } und erklgren den Homomorphismus ~)'Z2--+Aut(G) durch ~)~(a) a ~ f i i r a E G u n d e E Z 2 .

G. und fiir n _~ 2 die Unterg~'uppe H {id, r} wobei r die Transposition bezeichnet, die Iund 2 vertauscht. Offensichtlich ist H~Z2 und A, AH {id}. 9 ausgefiihrt wird, ist 8. 5 ist 8. Isomorphismus A. r, also8. H. A . ~ H semidirektes Produkt und es gibt einen A n X r Z2 ~ gn wobei @~(~r) T~T. Dieses semidirekte Produkt ist f~r kein n _> 3 direkt, da H < &~ kein Norlnalteiler ist. 6 BEISPIELE* SO(n): {AeO(n): detA 49 +I}

Sei x E p l ( N ' ) , also x' p(x) E N ' und a E G. 1 ist ~ ( N ) < G'. soa:ca 1 E (io I ( N / ) . ~(x) E ~ ( N ) mit x E N und [] Auf die Voraussetzung surjektiv in b) kaan natiirlich nicht verzichtet werden: Betrachte G < G', nicht Normalteiler, und die Inklusion ~ : G ~ G'. 8 Faktorgruppen Nun kommen wir zu einer grundlegenden Konstruktion der Gruppentheorie. Ist H < G, so versucht m a n die Menge G / H der linken Nebenklassen so zu einer Gruppe zu machen, dass die ka~mnische Abbildung p:G--~G/H, a~-+aH zu einem Gruppenhomomorphismus wird.

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