Jordan canonical form by Chris Kottke

By Chris Kottke

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Homology of commutative rings

Unpublished MIT lecture notes

Rings, Extensions, and Cohomology

"Presenting the complaints of a convention held lately at Northwestern college, Evanston, Illinois, at the celebration of the retirement of famous mathematician Daniel Zelinsky, this novel reference offers updated assurance of issues in commutative and noncommutative ring extensions, particularly these concerning problems with separability, Galois idea, and cohomology.

Basic Category Theory

On the center of this brief advent to class concept is the belief of a common estate, vital all through arithmetic. After an introductory bankruptcy giving the fundamental definitions, separate chapters clarify 3 ways of expressing common houses: through adjoint functors, representable functors, and boundaries.

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Zeigen Sie: (R/I )⊗ R M ist isomorph zu M/I M. 3. (a) Es seien m und n teilerfremde positive ganze Zahlen. Zeigen Sie: Z/mZ⊗Z Z/nZ = 0. 7. Elementare Begriffe der homologischen Algebra 53 (b) M und N seien endlich erzeugte Moduln u¨ ber dem lokalen Ring R. Zeigen Sie: Ist M ⊗ R N = 0, dann gilt M = 0 oder N = 0. (Hinweis: Es sei Q das maximale Ideal von R und K = R/Q. Angenommen N ̸ = 0. ) N ⊗ R K ∼ = K n f¨ur ein n > 0. 4. Es sei (Mi )i∈I eine Familie von R-Moduln und M = i∈I Mi . Zeigen Sie: Genau dann ist M ein flacher R-Modul, wenn alle Mi flache R-Moduln sind.

B) Ersetze in (a) ⊆ durch ⊇. Bevor wir mit der Antwort auf diese Fragen beginnen, notieren wir eine Aussage u¨ ber Restklassenbildung und Lokalisierung bei ganzen Erweiterungen. 20. R sei Unterring des Ringes S, J ein Ideal in S, I = J ∩ R und T eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge von R. Dann gilt: (1) Ist S ganz u¨ ber R, dann ist S/J ganz u¨ ber R/I und ST ganz u¨ ber RT . (2) Ist R ganz abgeschlossen in S, dann ist RT ganz abgeschlossen in ST . Beweis. h. f (x) = 0 mit einem normierten Polynom f = X n + a1 X n−1 + .

Zeigen Sie: Sind M/N1 und M/N2 Artinsch, dann ist auch M/(N1 ∩ N2 ) Artinsch. 3. Es sei R ein Artinscher lokaler Ring, Q sein maximales Ideal. Zeigen Sie: Ist Q ein Hauptideal, dann ist jedes Ideal von R ein Hauptideal. 4. Es sei K ein K¨orper und R eine endlich erzeugte K -Algebra. Zeigen Sie: Genau dann ist R Artinsch, wenn dim K R < ∞. ). ). Benutzen Sie jetzt, daß R als Artinscher Ring ein R-Modul endlicher L¨ange ist. 9 Krull-Dimension Es sei K ein K¨orper und V ein K -Vektorraum. Daß V die Vektorraum-Dimension n hat, kann man a¨ quivalent so beschreiben: Es gibt eine Kette 0 = V0 V1 ...

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