Einführung in die Transzendenten Zahlen by Theodor Schneider

By Theodor Schneider

Uber transzendente Zahlen gibt es nur sehr wenige zusammenfassende Darstellungen. Ein Grund dafiir diirfte darin zu suchen sein, daB in der Originalliteratur iiber transzendente Zahlen nur vereinzelt allgemeinere Methoden entwickelt worden sind und zumeist die Transzendenzergeb nisse durch recht spezielle, eigens auf die jeweiligeAufgabe zugeschnittene Gedanken bewiesen wurden. Erst seit einiger Zeit wurden in zunehmen dem MaBe umfassendere Beweisprinzipien deutlich. Gerade auf die Herausarbeitung von allgemeineren Beweismethoden habe ich in dieser Schrift besonderen Wert gelegt und dabei sogar in Kauf genommen, daB einige Resultate durchaus nicht mit dem kiirzest m6glichen, dafiir aber einem verallgemeinerungsfahigen Beweis bestatigt werden. Aus solchen methodischen Gesichtspunkten heraus glaubte ich auch, mich auf die meines Erachtens wichtigsten Teile der Theorie der transzendenten Zahlen beschranken zu sollen, und konnte dabei manche geistvolle Einzeluntersuchung nicht beriicksichtigen. Ich habe mich bemiiht, eine Einfiihrung in das leider so wenig be kannte Gebiet der transzendenten Zahlen zu geben, bei der nur einige Grundkenntnisse aus der Theorie der algebraischen Zahlen und aus der Funktionentheorie vorausgesetzt werden. Die einzelnen Kapitel sind unabhangig voneinander lesbar, insbesondere stehen Kapitel I und III fiir sich, wenn auch teilweise auf Hilfssatze aus vorhergehenden Kapiteln zuruckgegriffen wird. 1m Literaturverzeichnis ist nur diejenige Literatur aufgefiihrt, auf die bereits im textual content verwiesen ist. Fiir wertvolle Hilfe bei der Durchsicht des Manuskripts und der Korrekturen bin ich Herrn Dr. LEOPOLDT zu Dank verpflichtet. Dem Herausgeber und dem Verlag schulde ich Dank fiir das Verstandnis und die iiberaus groBe Geduld, die sie mir entgegengebracht haben. Erlangen, im Marz 1957.

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Example text

O play for the sets ~ and ~ 0 • We shall determine a function F(z, w) which is holomorphic on the set y 0 and equal to a given function f(z) on the set a 0 • To this end we have only to . solve the first auxiliary problem of order at most N, but this is possible in view of our assumption. 19) 27tt • l (here the integral is taken from the point zi to the point z'J. ). 9), (I) (in Chapter V, (I}}. Such an investigation then leads us to similar results. The function turns out to be holomorphic on the set Eo - Ao (where A0 is a collection of those points of the set C0 for which z 1 € L); moreover, it will be holomorphic on the set which is obtained from the set C0 by replacing, in the definition, the domain v

by the entire Z1 -plane.

To each value zI = z there should correspond at least one point z(P) w- / 1(z\">. 23) We consider the point M(z~, i;:-2 , • • • 1 i;:n, wI, • ••, wN) = limp4 ooMp. Since Sis a closed set, M is in S. 23), we have Thus the upper semicontinuity of the function RI ( z I) is proved. I zI - z~I < p} CU' with its center at a point z~ £ s. f In R (z~ + pe 1'P) d'f

Z) = ~( ± a 1z-t. t (w - k~O \l~u a)"-l (z--b)l) . 14) is called the diagonal series. In the manner described in § 1. 14). Generally speaking, K ::J D. By Abel's first theorem on the theory of functions of a complex variable we can conclude that the domain K is a complete disk domain with center at the point (a, b). Such a domain is always star-shaped and homeomorphic to a hyperball. 3 it follows that K is a domain of holomorphy. 1, (I), on monodromy, the domain single-sheeted. 14), it is convenient to put z - b ,_ (w - a)t; then the series takes the form "i,

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