Eindeutige Analytische Funktionen by Rolf Nevanlinna

By Rolf Nevanlinna

Die eindeutigen analytischen Funktionen können von verschiedenen Gesichtspunkten aus untersucht werden. Die in der vorliegenden Arbeit zur Darstellung gelangenden Fragen gruppieren sich um ein großes Hauptproblem. Einige allgemeine Bemerkungen über diese zentrale Fragestellung sollen hier vorausgeschickt werden. Wir denken uns ein gegebenes analytisches Funktionselement un­ beschränkt fortgesetzt. Angenommen, daß die so entstehende analytische Funktion w = w (z) eindeutig ist, existiert ein schlichtes Gebiet G mit z nachstehenden Eigenschaften. 1. Jedem inneren Punkt z von G entspricht ein und nur ein aspect z von rationalem Charakter der Funktion w(z). 2. Jeder Randpunkt z* von G ist eine wesentliche Singularität z von w(z). Falls G die ganze geschlossene Ebene umfaßt (elliptischer Fall), z so ist w (z) eine intent Funktion. Schließt guy diesen einfachsten Sonderfall aus, so hat guy zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem G z einfach oder mehrfach rusammenhängend ist. Wir beschränken uns auf den erstgenannten Fa}! und haben dann weitere zwei Möglichkeiten zu berücksichtigen: die Berandung r von G ist entweder ein Punkt z z (parabolischer Fall) oder ein Kontinuum (hyperbolischer Fall). Das Gebiet G wird durch die Funktion w = w (z) auf eine über der z w-Ebene ausgebreitete RIEMANNSche Fläche G .konform abgebildet. to Die Umkehrfunktion z = z(w) von w(z) ist eine auf dieser Fläche G to eindeutige und wegen der Eindeutigkeit von w (z) einwertige Funktion, d. h. den Mittelpunkten von zwei verschiedenen Elementen von z(w) sind stets zwei verschiedene Punkte z zugeordnet.

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In 1908, H. Wely released the well-known Hilbert’s inequality. In 1925, G. H. Hardy gave an extension of it through introducing one pair of conjugate exponents. The Hilbert-type inequalities are a extra large type of research inequalities that are together with Hardy-Hilbert’s inequality because the specific case.

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Wir werden später sehen (Abschnitt VII), daß das PorssoNsche Integral unter viel allgemeineren Voraussetzungen als den obigen zur Lösung des DIRICHLETschen Problems führt. § 2. Lösung der allgemeinen Randwertaufgabe. 19. Nimmt man an, das Gebiet G sei von einer Jordankurve F begrenzt, so läßt sich die Konstruktion einer harmonischen Funktion, die den in § 1 angegebenen Randbedingungen genügt, auf den Kreisfall zurückführen, indem das Gebiet auf den Einheitskreis K konform abgebildet wird. Da gemäß dem Fundamentalsatz A diese Abbildung noch auf den Rändern stetig und eineindeutig ist, so wird die auf 1 Diese von E.

Anwendungen auf den absoluten Betrag einer analytischen Funktion. 36. Zu einem ersten Spezialfall des Prinzips vom harmonischen Maß nehmen wir als Gebiet Gw einen Kreis Iw I< M und als Bereich Aw einen kleineren konzentrischen Kreis Iw I S,m

B. w. Aus dem Obigen ergibt sich gleichzeitig eine neue geometrische Deutung des harmonischen Maßes: Das harmonische Maß eines Randbogens in einem Punkt z ist gleich dem durch 2 :n: dividierten Winkel, den die von z zu den Endpunkten des Bogens laufenden h-Linien einschließen. § 5. Über die Niveaulinien des harmonischen Maßes. 27. Falls G der Einheitskreis und IX ein Peripheriebogen ist, der die volle Peripherie nicht umfaßt, so fallen die Niveaulinien KÄ: w(z, IX, G) =A mit denjenigen Kreisbogen zusammen, welche die Endpunkte von IX verbinden.

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